La géométrie différentielle contribue de façon décisive aux développements actuels de la physique théorique et de la mécanique. L'auteur a voulu présenter à des physiciens, en priorité, un ouvrage rédigé dans un langage mathématique aussi simple et efficace que possible. Il est primordial, pour des physiciens, voire des ingénieurs, que ce langage géométrique soit connu de tout étudiant entreprenant des recherches en relativité, thermodynamique, cosmologie, physique des hautes énergies, théorie du champ, mécanique des fluides, électromagnétisme, mécanique analytique.
TABLE DES MATIÈRES
LEÇON 0 RAPPEL DE TOPOLOGIE ET DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
1. Rappels de Topologie générale 2. Calcul différentiel dans les Banach Exercices
LEÇON 1 VARIÉTÉS INTRODUCTION
1. Variétés différentiables 2. Applications Différentiables de variétés 3. Sous variétés Exercices
LEÇON 2 ESPACE VECTORIEL TANGENT
1. Vecteur Tangent 2. Epace vectoriel Tangent 3. Application différentielle en un point Exercices LEÇON 3 FIBRE TANGENT - CHAMP DE VECTEURS - GROUPE ÀUN PARAMÈTRE - ALGÈBRE DE LIE
1. Fibre tangent 2. Champ de vecteurs sur une variété 3. Structure d'algèbre de Lie 4. Groupe à un paramètre de difféomorphismes Exercices LEÇON 4 FIBRE COTANGENT ET FIBRE DES TENSEURS
1. Fibre cotangent - Champ de covecteurs 2. Algèbre tensorielle et champ de tenseurs Exercices
LEÇON 5 FORMES DIFFÉENTIELLES
1. Forme extérieure en un point 2. Formes différentielles sur une variété 3. Image réciproque d'une forme différentielle - forme volume 4. Différentiation extérieure Excercices LEÇON 6 DÉRIVÉE DE LIE - GROUPE DE LIE
1. Dérivée de LIE 2. Produit intérieur et dérivée de LIE 3. Théorème de FROBENIUS pour les champs de vecteurs 4. Invariance des champs de tenseurs 5. Groupe de LIE Exercices
LEÇON 7 L'INTÉGRATION DES FORMES ET SES APPLICATIONS
1. Intégration d'une forme différentielle de degré n sur variété orientée 2. Intégrale sur une chaine 3. Formule de STOKES 4. Introduction à la théorie de l'homologie 5. Invariants intégraux Exercices
LEÇON 8 GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNES
1. Variétés Riemanniennes 2. Connexion linéaire 3. Géodésiques et Équation d'Euler 4. Courbure - identité de Bianchi - équations d'Einstein Exercices LEÇON 9 PRINCIPES DES FORMALISMES LAGRANGIEN ET HAMILTONIEN- ÉQUATIONS DU MOUVEMENT - INTÉGRALES ISOLANTES
1. Espace de configuration - métrique 2. Principe de Hamilton - équations du mouvement - espaces de phases 3. Principe de d'Alembert - Lagrange - équations de Lagrange 4. Transformations canoniques et invariants intégraux 5. Intégrales isolantes en dynamique stellaire Exercices
LEÇON 10 GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE ET MÉCANIQUE DE HAMILTON-JACOBI
1. Géométrie symplectique 2. Transformations canoniques en mécanique Hamiltonnienne 3. Équation de Hamilton-Jacobi 4. Introduction à la théorie des perturbations
