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Depuis l’avènement du calcul sur ordinateur dans les années 1960, les méthodes numériques font partie du bagage de l’ingénieur. L’étude mathématique de ces méthodes et de leurs propriétés relève de l’analyse numérique.
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Rubrique :
Livres
ISBN :
9782383952077
Référence :
2207
À paraître
Depuis l’avènement du calcul sur ordinateur dans les années 1960, les méthodes numériques font partie du bagage de l’ingénieur. L’étude mathématique de ces méthodes et de leurs propriétés relève de l’analyse numérique.
Ce n’est pas le propos de ce livre. Son objectif est plutôt de présenter les méthodes numériques sous l’angle algorithmique, en s’adressant au praticien (étudiant, ingénieur, chercheur ou autodidacte) désireux de les employer à bon escient. Les aspects théoriques sont limités au « minimum vital » permettant de comprendre les bases de chaque méthode. Un bagage mathématique de niveau Bac+2 est suffisant pour aborder ce livre qui traite des thèmes suivants :
- l’interpolation polynomiale et l’interpolation rationnelle à une variable ;
- l’interpolation par morceaux (splines) et son extension bidimensionnelle ;
- l’approximation par polynômes orthogonaux et son extension aux variables aléatoires (simulations par Monte-Carlo) ;
- l’estimation de dérivées et d’intégrales, en lien avec la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles ;
- l’approximation par moindres carrés avec un aperçu des principales méthodes d’optimisation associées ;
- l’analyse de Fourier dans le domaine discret ou continu, en lien avec les techniques de discrétisation.
Chaque méthode est illustrée par un exercice résolu portant sur un problème de physique. Certains exercices sont à réaliser avec un tableur (montré en solution). Le lecteur peut ainsi vérifier sa bonne compréhension des formules.
| Référence : | 2207 |
| Nombre de pages : | 246 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Cerf Max | Auteur |
1. Interpolation polynomiale
1.1 Forme standard
1.1.1 Détermination des coefficients
1.1.2 Méthode de Hörner
1.2 Forme de Lagrange
1.2.1 Expression du polynôme d’interpolation
1.2.2 Interpolation quadratique
1.2.3 Méthode de Neville
1.3 Forme de Newton
1.3.1 Expression du polynôme d’interpolation
1.3.2 Méthode des différences divisées
1.3.3 Prise en compte progressive des points d’interpolation
1.3.4 Valeur du polynôme
1.4 Forme d’Hermite
1.5 Erreur d’interpolation
1.5.1 Expression de l’erreur
1.5.2 Points équidistants
1.5.3 Points de Tchebychev
1.6 Les points essentiels
2. Interpolation rationnelle et interpolation par morceaux
2.1 Fraction rationnelle
2.1.1 Détermination des coefficients
2.1.2 Méthode de Bulirsh et Stoer
2.1.3 Méthode de Padé
2.2 Fraction continue
2.2.1 Forme générale
2.2.2 Méthode des différences réciproques divisées
2.2.3 Prise en compte progressive des points d’interpolation
2.3 Interpolation par morceaux
2.3.1 Interpolation globale et locale
2.3.2 Interpolation linéaire ou quadratique
2.3.3 Interpolation cubique
2.3.4 Conditions de raccordement
2.3.5 Conditions aux extrémités
2.3.6 Courbure globale
2.4 Interpolation bidimensionnelle
2.4.1 Interpolation sur trois points
2.4.2 Interpolation sur quatre points
2.4.3 Ordre supérieur
2.5 Les points essentiels
3. Polynômes orthogonaux
3.1 Définition et propriétés
3.1.1 Produit scalaire
3.1.2 Construction de polynômes orthogonaux
3.1.3 Racines de polynômes orthogonaux
3.1.4 Polynômes orthogonaux usuels
3.2 Polynômes de Tchebychev
3.2.1 Définition
3.2.2 Norme du polynôme de Tchebychev
3.2.3 Orthogonalité discrète
3.3 Méthode d’approximation
3.3.1 Base de polynômes orthogonaux
3.3.2 Méthode de collocation
3.3.3 Méthode de projection
3.3.4 Cas des polynômes de Tchebychev
3.4 Polynômes à plusieurs variables
3.4.1 Variables aléatoires
3.4.2 Approximation polynomiale
3.4.3 Analyse statistique
3.5 Les points essentiels
4. Dérivées et intégrales
4.1 Dérivées par différences finies
4.1.1 Dérivées premières et secondes
4.1.2 Réglage de l’incrément
4.2 Dérivées par incrément complexe
4.3 Dérivées par extrapolation
4.3.1 Algorithme de Richardson
4.3.2 Application aux dérivées
4.4 Intégrales par quadratures élémentaires
4.4.1 Méthode de quadrature
4.4.2 Quadratures élémentaires usuelles
4.5 Intégrales par quadratures orthogonales
4.5.1 Intégrale d’un polynôme
4.5.2 Méthodes de Gauss
4.6 Intégrales par quadratures composées
4.6.1 Méthode des trapèzes
4.6.2 Méthode de Romberg
4.7 Equations différentielles
4.7.1 Formulation et méthodes
4.7.2 Méthodes de Runge-Kutta
4.7.3 Méthodes d’Adams
4.7.4 Méthodes de collocation
4.8 Equations aux dérivées partielles
4.8.1 Classification
4.8.2 Méthode des caractéristiques
4.8.3 Méthodes de différences finies
4.8.4 Méthode des éléments finis
4.9 Les points essentiels
5. Moindres carrés
5.1 Modèle paramétrique
5.1.1 Paramètres et mesures
5.1.2 Formulation du problème
5.1.3 Méthodes de résolution
5.2 Système d’équations
5.2.1 Méthode de Newton
5.2.2 Convergence
5.2.3 Globalisation
5.3 Minimisation par méthode indirecte
5.3.1 Conditions d’optimalité
5.3.2 Modèle linéaire
5.3.3 Solution récursive
5.3.4 Modèle non linéaire
5.4 Minimisation par méthode directe
5.4.1 Méthode de descente
5.4.2 Méthodes du premier ordre
5.4.3 Méthodes du second ordre
5.5 Les points essentiels
6. Analyse de Fourier
6.1 Fonction périodique
6.1.1 Série de Fourier
6.1.2 Coefficients de Fourier
6.1.3 Résultats de convergence
6.2 Fonction non périodique
6.2.1 Prolongement périodique
6.2.2 Transformée de Fourier
6.2.3 Propriétés de la transformée de Fourier
6.3 Discrétisation
6.3.1 Théorème d’échantillonnage
6.3.2 Passage du continu au discret
6.3.3 Transformée de Fourier discrète
6.3.4 Transformée de Fourier rapide
6.4 Analyse spectrale
6.4.1 Spectre
6.4.2 Fonctions utiles
6.4.3 Réponse impulsionnelle
6.4.4 Filtrage
6.5 Les points essentiels
Index
Références
