Théorie des points fixes pour la topologie faible : exercices et problèmes corrigés
Auteur :
En mélangeant son café au lait, le mathématicien Luitzen Ebertus Jan Brouwer remarquait que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile.
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Rubrique :
Mathématiques
ISBN :
9782383950578
Référence :
2057
Année de parution :
2023
En mélangeant son café au lait, le mathématicien Luitzen Ebertus Jan Brouwer remarquait que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile. Donc à tout moment, il y a un point de la surface qui n’a pas changé de place. Il a démontré, en 1911, un important théorème ou résultat de point fixe. Très différent de celui de Picard-Banach, ce théorème du point fixe est le point de départ d’une branche particulière de la topologie, la topologie algébrique. Ses applications et ses généralisations, des équations différentielles à la théorie des jeux, dues à Schauder, Tichonov, Leray, Brouwer, Darbo, Sadovskii, Krasnosel’skii, Nash et Kakutani se sont révélées fondamentales. Récemment, Ben Amar, Jeribi et Mnif ont donné une autre variante du théorème de Schauder et de Krasnoselskii en utilisant la notion de la topologie faible, en premier temps, dans un espace de Dunford-Pettis, en 2005, et en second temps, dans un espace de Banach, en 2008. Ces résultats très intéressants et très fins ont résolu beaucoup de problèmes dans la littérature que l’on ne savait pas résoudre auparavant. Le présent ouvrage est destiné aux étudiants de licence, Master de mathématiques, mathématiques appliquées, aux élèves d’écoles d’ingénieurs, aux chercheurs et aux enseignants-chercheurs. Ce livre comporte un cours et une série d’exercices dont les solutions sont très détaillées sur l’analyse fonctionnelle. Ce livre est une introduction à l’analyse fonctionnelle, il couvre l’essentiel de la topologie forte et la topologie faible traditionnellement enseignées au niveau Licence et Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abordés. Des exemples d’applications sont choisis en cinétique des gaz, dynamique des populations, équations intégrales de type Hammerstein et Nemytskii, équations aux dérivées partielles et aux équations de transport neutronique. La théorie des points fixes fait partie des outils de mathématiques appliquées.
| Référence : | 2057 |
| Nombre de pages : | 302 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Jeribi Aref | Auteur |
1 Préliminaire topologique
1.1 Espace localement convexe
1.2 Espace de Banach
1.3 Topologie faible
1.4 Compacité, compacité faible, et ws-compact
1.4.1 Compacité
1.4.2 Compacité faible
1.4.3 ws-compact
1.5 Enveloppe convexe et compacité
1.5.1 Enveloppe convexe
1.5.2 Compacité
1.6 Espace de Dunford–Pettis
1.7 Fonction lipschitzienne
1.7.1 Fonction k-lipschitzienne
1.7.2 Fonction de contraction séparée
1.8 Espace uniformément convexe
1.9 Projection sur un convexe fermé
1.10 Positivité et cône
1.11 Algèbre de Banach
1.12 Matrice par bloc
1.13 Fonction de Carathéodory
1.13.1 Fonction de Carathéodory et opérateur de Nemytskii
1.13.2 Fonction de Carathéodory faible
1.13.3 Fonction de Carathéodory pour des fonctions à valeurs multiples
1.14 Exercices
1.15 Corrigés
2 Mesure de non-compacité
2.1 Mesures
2.1.1 Mesure de non-compacité
2.1.2 Condition de Darbo
2.1.3 Mesure de Kuratowski
2.2 Mesure de faible non-compacité
2.2.1 Mesure de faible non-compacité dans un espace de Banach
2.2.2 Mesure de faible non-compacité dans une algèbre de Banach
2.3 Exercices
2.4 Corrigés
3 Théorèmes de point fixe
3.1 Théorème de point fixe de Banach
3.1.1 Théorème de Banach
3.1.2 Théorème d’inversion locale
3.2 Théorème de point fixe de Brouwer
3.2.1 Théorème de Brouwer
3.2.2 Théorème de Brouwer généralisé
3.2.3 Racine d’un polynôme complexe
3.3 Théorème de point fixe de Schauder
3.3.1 Théorème de Schauder
3.3.2 Théorème de Péano
3.3.3 Théorèmes de point fixe de Darbo
3.3.4 Théorèmes de point fixe de Sadovskii
3.3.5 Théorème de Péano généralisé
3.3.6 Théorème de Schauder-Tychonoff
3.4 Théorème de point fixe de Krasnosel’skii
3.4.1 Théorème de Krasnosel’skii
3.4.2 Théorème de type Krasnosel’skii associé à Schauder-Tychonoff
3.4.3 Théorème de type Krasnosel’skii associé à Sadovskii
3.5 Théorèmes de Schauder et Krasnosel’skii
3.5.1 Type Schauder
3.5.2 Type Krasnosel’skii
3.6 Application : équation intégrale non-linéaire
3.7 Problème intervenant en dynamique des populations
3.7.1 Version stationnaire du modèle de Rotenberg
3.7.2 Notations et Préliminaires
3.7.3 Résultats d’existence
3.7.4 Résultats d’existence et d’unicité
3.8 Exercices
3.9 Corrigés
4 Théorèmes de Schauder et de Krasnosel’skii
4.1 Points fixes du type Ben Amar-Jeribi-Mnif
4.1.1 Type Schauder
4.1.2 Type Krasnosel’skii
4.2 Points fixes du type Ben Amar-Jeribi-Mnif
4.2.1 Type Schauder
4.2.2 Solutions positives
4.2.3 Type Krasnosel’skii
4.3 Somme de deux opérateurs
4.4 Mesure de faible non-compacité de De Blasi
4.4.1 Type Schauder
4.4.2 Type Krasnosel’skii
4.5 Quelques alternatives de Leray–Schauder
4.5.1 Type Schauder
4.5.2 Type Krasnosel’skii
4.5.3 Quelques alternatives de Leray–Schauder impliquant des fonctions de contractions non-linéaires
4.6 Point fixe dans un espace localement convexe
4.7 Graphe faiblement séquentiellement fermé
4.7.1 Graphe faiblement séquentiellement fermé
4.7.2 L’inversibilité de la fonction I - B .
4.8 Théorèmes de point fixe du type Leray–Schauder
4.9 Quelques alternatives de Leray–Schauder
4.10 Équations de transport en cinétiques des gaz
4.10.1 Fuite d’énergie aux bords de la dalle
4.10.2 Cas où V(x; v; (x; v)) = (x; v) (x; v)
4.10.3 Solutions positive du problème aux limites
4.10.4 Existence de solutions pour un problème aux limites non-linéaire général
4.11 Opérateurs de condensation à puissance convexe
4.12 Fonction de condensation ws-compact
4.13 Exercices
4.14 Corrigés
5 Point fixe dans une algèbre de Banach
5.1 Leray–Schauder dans une algèbre de Banach
5.2 Quelques résultats de la théorie du point fixe
5.3 Équation de la forme A:B + C
5.4 Exercices
5.5 Corrigés
6 Fonctions à valeurs multiples
6.1 Type Furi–Pera
6.2 Résultat de type H. Schaefer
6.3 Point fixe du type Krasnosel’skii–Schaefer
6.4 Furi–Pera pour la somme de deux fonctions
6.5 Valeurs multiples pour une matrice d’opérateurs
6.6 Inclusions différentielles
6.6.1 Problèmes de valeur initiale à valeurs multiples
6.6.2 Problèmes de valeur limite périodique à valeurs multiples de premier ordre
6.7 Point fixe pour une matrice d’opérateurs
6.8 Exercices
6.9 Corrigés
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