



Les épistémologues qui étudient l’évolution de la pensée mathématique notent que deux mouvements ont surgi. Le premier correspond à une volonté de résoudre l’opposition entre l’arithmétique et la géométrie et entre la géométrie et l’algèbre.
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Les épistémologues qui étudient l’évolution de la pensée mathématique notent que deux mouvements ont surgi. Le premier correspond à une volonté de résoudre l’opposition entre l’arithmétique et la géométrie et entre la géométrie et l’algèbre. Le second veut reconstruire l’ensemble des mathématiques à partir des correspondances de Langlands qui s’attaquent à l’opposition entre l’algèbre et l’analyse et veulent offrir un dictionnaire unique à la physique de l’avenir.
Dans la lignée du premier mouvement, ce fascicule présente cinq thèmes de recherche exposés par l’auteur dans les années qui précèdent aux collègues animateurs du groupe Mathématique-Physique-Supérieur de L’IRES de Toulouse. Ces cinq thèmes sont inspirés de sujets proposés aux candidats à l’épreuve des TIPE de grands concours scientifiques nationaux.
Chaque thème comprend le corps du sujet avec des annexes et des compléments où sont données les notions nécessaires à la compréhension du texte et des exercices portant sur le thème choisi avec les réponses proposées. Chaque thème est rédigé a priori de façon autosuffisante, bien que certains thèmes soient liés.
Voici les thèmes retenus :
1 - Éléments de la théorie des nombres cardinaux
2 - Une propriété sporadique des sphères
3 - La fibration de Clifford-Hopf
4 - L’algèbre géométrique de W.K. Clifford d’un plan euclidien
5 - L’algèbre de Lie d’un sous-groupe d’un groupe linéaire réel
Public concerné : Ce travail s’inscrit dans un projet de formation continue. Il peut intéresser les étudiants de licence de mathématiques et de physique, ceux qui sont en master de mathématiques et de physique, les étudiants en classes préparatoires aux grands concours scientifiques notamment pour l’épreuve de TIPE et même les professeurs en exercice pour approfondir leurs connaissances.
Référence : | 2169 |
Nombre de pages : | 232 |
Format : | 16x24 cm |
Reliure : | Broché |
Rôle | |
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Anglès Pierre | Auteur |
0.1 La théorie des nombres cardinaux
0.2 Une propriété sporadique des sphères
0.3 La fibration de Clifford-Hopf
0.4 Public concerné
1 Quelques éléments de la théorie des nombres cardinaux
1.1 Présentation
1.2 Le Langage des ensembles
1.2.1 Quelques notions sur les systèmes formels effectifs
1.3 Quelques Prérequis
1.3.1 Les prérequis du langage des ensembles
1.3.2 La construction de l’axiomatique de Peano
1.3.3 Remarques fondamentales
1.3.4 Ensemble fini et ensemble infini
1.4 Nombres cardinaux
1.4.1 Définition
1.4.2 Égalité
1.4.3 Propriétés immédiates
1.4.4 Remarques
1.4.5 Exemple
1.4.6 Comparaison de deux nombres cardinaux
1.4.7 Ensembles dénombrables
1.4.8 Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble
1.5 Les Axiomes ou Théorèmes de Zermelo et Zorn
1.5.1 Axiome du choix de E. Zermelo : le problème de la sélection
1.5.2 Formes équivalentes de l’axiome du choix
1.5.3 Axiome ou théorème de Zorn
1.5.4 Forme équivalente : Théorème de Zermelo
1.5.5 Autre forme équivalente
1.6 Ensembles ayant comme nombre cardinal le continu
1.6.1 Théorème
1.6.2 Définitions
1.6.3 Proposition
1.6.4 Proposition
1.6.5 Théorème
1.6.6 L’hypothèse du continu
1.7 Conclusion
1.7.1 Théorème
1.7.2 Corollaires
1.7.3 Définition
1.8 Complément : Le modèle [M] de Laurent Schwartz d’une théorie des ensembles
1.8.1 Objets du modèle
1.8.2 Précaution d’écriture
1.8.3 Différence fondamentale entre [M] et la mathématique habituelle
1.8.4 Choix du prédicat d’appartenance de L. Schwartz
1.8.5 Définition
1.8.6 Propriétés du modèle [M]
1.8.7 Exercices proposés
2 Une propriété sporadique des sphères
2.1 Présentation du sujet
2.2 Le problème de Hamilton
2.2.1 L’échec de Hamilton : R3 n’est pas un corps de nombres
2.2.2 Le problème de Hamilton
2.3 Les sphères S0 et S1
2.3.1 La sphère S0
2.3.2 La sphère S1
2.4 Les quaternions d’Hamilton : structure naturelle de corps sur R4
2.4.1 Définitions de H et de H1
2.4.2 Bases canoniques du R-espace vectoriel H1 et du Respace vectoriel H
2.4.3 Quelques propriétés algébriques de H et de H1
2.4.4 Théorème
2.5 Conclusion
2.6 Annexe - Rappels sur quelques structures algébriques
2.7 Exercices
3 La fibration de Clifford-Hopf
3.1 Introduction
3.2 Quelques propriétés des sphères Sn
3.2.1 Définition
3.2.2 Cas de la dimension 1
3.2.3 Cas de la dimension 2
3.2.4 Construction de la fibration de Clifford-Hopf
3.2.5 Généralités sur les espaces fibrés
3.2.6 Conclusion - La fibration de Clifford-Hopf et ses généralisations
3.3 Annexe
3.3.1 1-Relations d’équivalence. Ensemble quotient
3.3.2 2 - Décomposition canonique d’une application
3.3.3 Groupes opérant sur un ensemble
3.3.4 Espaces topologiques
3.3.5 Exemple fondamental
3.4 Exercices
3.4.1 Exercices utilisant les résultats du thème précédent : Une propriété sporadique des sphères
4 L’algèbre géométrique de Clifford d’un plan euclidien
4.1 Introduction
4.2 La construction de l’algèbre géométrique Cl2
4.2.1 Position du problème de Clifford
4.2.2 Analyse du problème
4.2.3 Synthèse et Définitions
4.2.4 Quelques propriétés élémentaires
4.2.5 Projections orthogonales et réflexions
4.2.6 Les applications Π, τ, υ de Cl2 dans Cl2
4.2.7 Les normes de Cl2. Le groupe spinoriel Spin(2)
4.2.8 Centre de l’algèbre Cl2
4.3 Réalisation matricielle de Cl2
4.3.1 Définition
4.3.2 Réalisation de τ, υ,Π dans m(2,R)
4.4 Identification de C avec la sous-algèbre paire Cl+2 de Cl2
5 L’algèbre de Lie d’un sous-groupe d’un groupe linéaire réel
5.1 Introduction
5.2 PREMIERE PARTIE
5.2.1 Exponentielle d’un opérateur ou d’une matrice
5.2.2 Cas particuliers : Algèbre de Lie de SO(2,R) = SO(2) et de SO(3,R) = SO(3)
5.3 DEUXIEME PARTIE
5.3.1 Quelques considérations de géométrie différentielle
5.3.2 La structure d’algèbre de Lie
5.4 Compléments