L’art de la convergence : Suites et Séries Numériques. Cours et Exercices

I Suites numériques

1 Généralités sur les suites numériques

1.1 Généralités 

1.1.1 Définitions et premières propriétés 

1.1.2 Convergence d’une suite 

1.1.3 Exemples remarquables 

1.1.4 Suites extraites 

1.2 Critères de convergence d’une suite 

1.2.1 Suitesmonotones 

1.2.2 Suites adjacentes 

1.2.3 Critère de Cauchy 

1.2.4 Limite Sup, limite Inf et valeurs d’adhérence 

1.2.5 Parties compactes de R 

1.3 Exercices corrigés 

1.3.1 Quelques résultats théoriques 

1.3.2 Suites adjacentes 

1.3.3 Quelques résultats d’approximation et densité 

1.3.4 Valeurs d’adhérence, lim sup et lim inf d’une suite

2 Suites récurrentes

2.1 Suites récurrentes du type un+1 = f (un) 

2.1.1 Cas d’une fonction croissante 

2.1.2 Cas d’une fonction décroissante 

2.1.3 Suites et Points fixes 

2.2 Suites récurrentes linéaires 

2.3 Suites récurrentes linéaires perturbées 

2.3.1 Structure de l’ensemble des suites perturbées 

2.3.2 Cas de perturbation par (P(n)λn) 

2.4 Exercices corrigés 

2.4.1 Suites récurrentes non linéaires 

2.4.2 Suites récurrentes linéaires 

3 Rapidité et accélération de la convergence

3.1 Comportement asymptotique 

3.1.1 Les relations de comparaison 

3.1.2 Théorèmes de Cesàro et leurs applications 

3.1.3 Exemples de développement asymptotique 

3.2 Rapidité de la convergence 

3.2.1 Types de convergence 

3.2.2 Cas des suites récurrentes 

3.3 Accélération de la convergence 

3.3.1 Accélération par la méthode d’extraction 

3.3.2 Accélération par développement à l’infini 

3.3.3 Accélération par la méthode de la moyenne 

3.3.4 Accélération par la méthode de relaxation 

3.3.5 Accélération par la méthode de Richardson 

3.3.6 Accélération par la méthode de Δ2 d’Aitken 

3.3.7 Variante d’Aitken dans un schéma de point fixe 

3.4 Application de l’accélération de la convergence 

3.5 Exercices corrigés 

3.5.1 Comportement asymptotique d’une suite 

3.5.2 Rapidité et accélération de la convergence 

4 Thèmes complémentaires

4.1 Modèle logistique 

4.1.1 Suite logistique 

4.1.2 Diagramme de Feigenbaum 

4.2 Formule de Stiriling 

4.3 Fraction continue et approximation 

II Séries Numériques

5 Séries numériques : Théorie et pratique

5.1 Généralité sur les séries numériques 

5.1.1 Définitions et exemples 

5.1.2 Série géométrique 

5.1.3 Propriétés de convergence 

5.2 Séries à termes positifs 

5.2.1 Comparaison série-intégrale 

5.2.2 Quelques applications 

5.2.3 Règles de référence 

5.3 Séries à termes quelconques 

5.3.1 Convergence absolue 

5.3.2 Outils de comparaison 

5.3.3 Séries et règles de référence 

5.3.4 Sommation des relations de comparaison 

5.4 Séries alternées 

5.4.1 Critère spécial des séries alternées 

5.4.2 Théorème de sommation d’Abel 

5.4.3 Utilisation du développement asymptotique 

5.5 Réorganisation des termes d’une somme 

5.5.1 Convergence commutative 

5.5.2 Produit de Cauchy 

5.5.3 Regroupement des termes 

5.6 Pratique de l’étude d’une série 

5.6.1 Consignes pratiques pour l’étude de la convergence

5.6.2 Méthodes pour calculer la somme d’une série 

5.7 Séries doubles 

5.7.1 Définitions et premiers exemples 

5.7.2 Convergence d’une série double 

5.7.3 Combinaisons linéaires de séries doubles 

5.7.4 Théorème de comparaison 

5.7.5 Convergence absolue et théorème de Fubini 

5.7.6 Quelques propriétés des séries doubles 

5.8 Exercices corrigés 

5.8.1 Nature d’une série : Étude pratique 

5.8.2 Quelques résultats théoriques 

5.8.3 Séries et produit de Cauchy 

5.8.4 Calcul de la somme d’une série convergente 

5.8.5 Séries des sommes partielles et séries des restes 

5.8.6 Séries et développement asymptotique 

5.8.7 Produit infini et séries doubles 

6 Thèmes complémentaires

6.1 Espace l 2(R) 

6.2 Développement décimal d’un nombre réel 

6.2.1 Premières propriétés 

6.2.2 Unicité du développement décimal 

6.2.3 Nombres décimaux et nombres rationnels 

6.2.4 Nombres algébriques et nombres transcendants 

6.3 Ensemble triadique de Cantor 

6.3.1 Définition et construction 

6.3.2 Premières propriétés 

6.3.3 Propriétés topologiques 

6.3.4 Auto-similarité 

Bibliographie

Index