Algèbre Linéaire. Exercices corrigés. Tome I

Avant-propos

Notations 

I Espaces Vectoriels

I.1 Rappels de cours 

I.1.1 Espaces vectoriels 

I.1.2 Sous-espaces vectoriels 

I.1.3 Bases (en dimension finie) 

I.1.4 Existence de bases (en dimension finie) 

I.1.5 Les théorèmes fondamentaux sur la dimension 

I.1.6 Bases en dimension infinie 

I.1.7 Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires 

I.1.8 Somme et somme directe de plusieurs sous-espaces 

I.2 Énoncés des exercices 

I.3 Corrections 

I.4 Récapitulatif des méthodes 

Démontrer qu’une partie d’un sous-espace vectoriel est/n’est pas un sous-espace vectoriel 

Démontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires

Démontrer qu’une famille est libre 

Démontrer qu’une famille est une base 

Compléter une famille libre en une base 

Trouver une base d’un sous-espace vectoriel 

Trouver une base de F + G 

Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux 

Trouver un supplémentaire d’un sous-espace vectoriel 

I.5 Erreurs fréquentes à éviter et remarques 

I.6 Codes Python 

II La méthode du pivot (ou méthode d’élimination de Gauss)

II.1 Rappels de cours 

II.1.1 Étude d’un système d’équations linéaires par la méthode du pivot

II.1.2 Cas des systèmes linéaires homogènes 

II.1.3 Utilisation pratique de la méthode du pivot 

II.2 Énoncés des exercices 

II.3 Corrections 

II.4 Récapitulatif des méthodes 

Résoudre un système par la méthode d’élimination de Gauss 

II.5 Erreurs fréquentes à éviter et remarques 

II.6 Codes Python 

III Applications linéaires et matrices

III.1 Rappels de cours 

III.1.1 Applications linéaires 

III.1.2 Image et noyau. Image d’une famille de vecteurs 

III.1.3 Matrices et applications linéaires 

III.1.4 Produit de deux matrices 

III.1.5 Matrice d’un vecteur. Calcul de l’image d’un vecteur 

III.1.6 Produits de matrices. Matrice de l’inverse d’une application 

III.1.7 Changement de base 

III.1.8 Rang d’une application linéaire et rang d’une matrice 

III.1.9 Espace dual 

III.1.10Annulateur d’un sous-espace 

III.2 Énoncés des exercices 

III.3 Corrections 

III.4 Récapitulatif des méthodes 

Démontrer qu’une application est injective 

Démontrer qu’une application est surjective 

Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme 

Trouver une base du noyau d’une application linéaire 

Trouver une base de l’image d’une application linéaire 

Construire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières 

Démontrer qu’une application linéaire est une projection (ou une symétrie)

Écrire la matrice d’une application linéaire 

Calcul du rang d’une matrice 

Déterminer la matrice d’une projection 

Calculer la puissance d’une matrice 

Démontrer qu’une matrice est inversible 

Inverser une matrice 

III.5 Erreurs fréquentes à éviter et remarques 

III.6 Codes Python 

IV Déterminants 

IV.1 Rappels de cours 

IV.1.1 Définition des déterminants par récurrence 

IV.1.2 Les déterminants vus comme formes multilinéaires alternées 

IV.1.3 Permutations, transpositions, signature 

IV.1.4 Déterminant de la transposée d’une matrice 

IV.1.5 Calcul des déterminants 

IV.1.6 Déterminant du produit de matrices. Déterminant d’un endomorphisme

IV.1.7 Calcul de l’inverse d’une matrice 

IV.1.8 Interprétation géométrique du déterminant : volume dans Rn 

IV.1.9 Orientation 

IV.2 Énoncés des exercices 

IV.3 Corrections 

IV.4 Récapitulatif des méthodes 

Décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints 

Décomposer une permutation en produit de transpositions 

Calculer la signature d’une permutation 

Calculer la puissance d’une permutation 

Calculer le déterminant d’une matrice 

Calculer le déterminant d’un endomorphisme 

Déterminer si des vecteurs sont libres ou liés dans un espace vectoriel 

IV.5 Codes Python 

V Systèmes d’équations linéaires

V.1 Rappels de cours 

V.1.1 Définitions et interprétations 

V.1.2 Système de Cramer 

V.1.3 Cas général. Le théorème de Rouché-Fontené 

V.1.4 Cas des systèmes homogènes 

V.2 Énoncés des exercices 

V.3 Corrections 

V.4 Récapitulatif des méthodes 

Identifier le type de système 

Vérifier la compatibilité d’un système général 

Résolution d’un système compatible 

V.5 Erreurs fréquentes à éviter et remarques 

V.6 Codes Python 

VI Réduction des endomorphismes

VI.1 Rappels de cours 

VI.1.1 Vecteurs propres 

VI.1.2 Recherche des valeurs propres. Polynôme caractéristique 

VI.1.3 Digression sur les polynômes 

VI.1.4 Recherche des vecteurs propres 

VI.1.5 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 

VI.1.6 Trigonalisation 

VI.1.7 Polynômes annulateurs. Théorème de Cayley-Hamilton 

VI.1.8 Le Lemme des noyaux 

VI.1.9 Recherche des polynômes annulateurs. Polynôme minimal 

VI.1.10Réduction en blocs triangulaires (ou réduction selon les espaces caractéristiques) 

VI.1.11Décomposition de Dunford 

VI.1.12La réduction de Jordan 

VI.2 Énoncés des exercices 

VI.3 Corrections 

VI.4 Récapitulatif des méthodes 

Étudier si une matrice est diagonalisable et la diagonaliser le cas échéant

Réduire un endomorphisme quelconque 

Déterminer une racine carrée, cubique, n-ième d’une matrice, ou sa puissance n-ième 

Propriétés vérifiées par un endomorphisme diagonalisable 

Prototype de matrice non diagonalisable 

Trigonaliser une matrice A 

Calculer les puissances d’une matrice à l’aide d’un polynôme annulateur 

Résoudre un système différentiel 

Déterminer le polynôme minimal d’une matrice 

Exploiter l’existence d’un polynôme annulateur pour en déduire des informations sur le déterminant, la trace d’une matrice 

Étudier la diagonalisabilité d’une matrice A à l’aide d’un polynôme annulateur

Étudier la diagonalisabilité d’une matrice A à l’aide du polynôme minimal 

Inverser une matrice à l’aide du polynôme minimal 

Réduction en sous-espaces caractéristiques 

Mettre sous forme de Jordan une matrice 

VI.5 Erreurs fréquentes à éviter et remarques 

VI.6 Codes Python 

Conseils et remarques pour des examens ou concours

Bibliographies

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