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Le lagrangien, de la mécanique classique à la relativité
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Du lagrangien de la mécanique classique aux équations d’Einstein de la relativité générale, cet ouvrage propose une introduction progressive et cohérente au formalisme lagrangien, véritable fil conducteur de la physique théorique moderne.
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Rubrique :
Sciences
ISBN :
9782383952718
Référence :
2271
À paraître
Du lagrangien de la mécanique classique aux équations d’Einstein de la relativité générale, cet ouvrage propose une introduction progressive et cohérente au formalisme lagrangien, véritable fil conducteur de la physique théorique moderne. Introduit au 18e siècle, ce concept permet de reformuler les lois du mouvement de manière élégante et unificatrice, en mettant au premier plan les principes variationnels et les symétries fondamentales.
Le lecteur est d’abord guidé à travers la mécanique newtonienne des systèmes discrets, puis des systèmes continus et des champs, avant d’aborder la relativité restreinte, l’électromagnétisme et, enfin, la relativité générale. Les équations de Maxwell, la force de Lorentz et les équations d’Einstein émergent naturellement de ce cadre commun.
Ce livre s’adresse à toute personne possédant de solides bases en physique classique, mais souhaitant franchir le pas vers la physique théorique contemporaine sans se perdre dans un formalisme excessif. Les outils mathématiques nécessaires – calcul variationnel et calcul tensoriel – sont introduits de manière progressive, rigoureuse et pragmatique. Les exercices, peu nombreux mais ciblés, sont entièrement corrigés et permettent d’approfondir la compréhension des concepts essentiels.
Un ouvrage pensé comme un tremplin entre la physique classique du 19e siècle et les théories fondamentales du 20e siècle.
| Référence : | 2271 |
| Nombre de pages : | 202 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Kraemer Jean-Christophe | Auteur |
Introduction
1. Présentation de la méthode de Lagrange
1.1. Description d’un système mécanique
1.1.1. Coordonnées généralisées
1.1.2. Liaisons
1.1.3. Degrés de liberté (ddl)
1.2. Principe des travaux virtuels
1.2.1. Déplacement virtuel
1.2.2. Généralisation
1.2.3. Équivalences newtoniennes
1.3. Équations d’Euler-Lagrange
1.3.1. Forces généralisées
1.3.2. Relations préliminaires ou lemmes
1.3.3. Travail virtuel des forces d’inertie
1.3.4. Équations d’Euler-Lagrange
1.3.5. Théorème de l’énergie cinétique généralisé
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 1.1 : les équations de Nielsen
Exercice 1.2 : pendule simple à plan tournant
Corrigé des exercices
2. Le lagrangien en mécanique classique
2.1. Le Lagrangien
2.1.1. Potentiel de position
2.1.2. Potentiel généralisé
2.1.3. Propriétés du lagrangien
2.1.4. Forces visqueuses
2.2. Systèmes non holonomes
2.2.1. Condition non holonome
2.2.2. Équation d’Euler-Lagrange généralisée
2.2.3. Calcul des forces de liaison
2.3. Oscillations autour de l’équilibre
2.3.1. Équilibre et stabilité
2.3.2. Linéarisation autour de l’équilibre
2.3.3. Équations du mouvement
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 2.1 : pendule double
Exercice 2.2 : pendule simple à plan tournant (2)
Exercice 2.3 : pendules couplés
Exercice 2.4 : cerceau roulant sur un plan
Exercice 2.5 : pendule double (2)
Exercice 2.6 : pendules couplés (2)
Corrigé des exercices
3. Principe de moindre action
3.1. Système holonome
3.1.1. Bornes fixes
3.1.2. Conséquences
3.1.3. Avec les dérivées secondes
3.1.4. Forces non conservatives
3.2. Systèmes contraints
3.2.1. Contrainte intégrale
3.2.2. Contrainte holonome
3.2.3. Contraintes non holonomes
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 3.1 : brachistochrone
Exercice 3.2 : corde pesante
Corrigé des exercices
4. Symétries, invariances et conservation
4.1. Coordonnées cycliques
4.1.1. Définition
4.1.2. Impulsions généralisées
4.1.3. Élimination d’une coordonnée cyclique
4.2. Symétries de l’espace-temps
4.2.1. Translation dans l’espace
4.2.2. Rotation dans l’espace
4.2.3. Translation dans le temps
4.3. Principe de relativité
4.3.1. La relativité galiléenne
4.3.2. Lagrangien d’une particule isolée
4.3.3. Méthode générale
4.4. Théorème de Noether
4.4.1. Groupe continu laissant t invariant
4.4.2. Groupe continu quelconque
4.4.3. Vecteur de Runge-Lenz
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 4.1 : toupie de révolution
Corrigé des exercices
5. Systèmes continus et champs
5.1. Un exemple : la chaîne masse-ressort
5.1.1. Équations d’Euler-Lagrange
5.1.2. Résolution
5.1.3. Passage au continu
5.1.4. Équation d’Euler-Lagrange généralisée
5.1.5. Solution générale
5.1.6. La corde vibrante
5.2. Densité lagrangienne
5.2.1. Équation d’Euler-Lagrange généralisée
5.2.2. En 3 dimensions spatiales
5.2.3. Milieux mécaniques continus
5.2.4. Cas des fluides
5.3. Construction de densités lagrangiennes
5.3.1. Champ scalaire
5.3.2. Champ vectoriel
5.3.3. Champ scalaire complexe
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 5.1 : corde vibrante libre à une extrémité
Exercice 5.2 : l’équation des télégraphistes
Corrigé des exercices
6. Tenseur énergie-impulsion
6.1. Tenseurs cartésiens
6.1.1. Conventions et notations
6.1.2. Tenseurs : définition
6.1.3. Opérations sur les tenseurs
6.1.4. Critère de tensorialité
6.1.5. Opérateurs différentiels
6.1.6. Le tenseur de Levi-Civita
6.2. Tenseur énergie-impulsion
6.2.1. Relations de conservation
6.2.2. Cas du champ électromagnétique
6.2.3. Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion
6.3. Courant de Noether
6.3.1. Théorème de Noether
6.3.2. Symétries internes et charge de Noether
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 6.1 : calcul tensoriel
Exercice 6.2 : champ acoustique
Corrigé des exercices
7. Fondements de la relativité restreinte
7.1. Postulats
7.1.1. Énoncé
7.1.2. Conséquences
7.1.3. Évènement
7.1.4. Transformation de Lorentz
7.2. Quadrivecteurs et espace-temps de Minkowski
7.2.1. Définitions
7.2.2. Conséquences
7.2.3. Exemples de 4-vecteurs
7.3. Tenseur métrique et 4-tenseurs
7.3.1. Bases orthonormées
7.3.2. Composantes contravariantes et covariantes
7.3.3. Opérateurs différentiels
7.3.4. Tenseurs relativistes ou 4-tenseurs
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 7.1 : invariance du d’alembertien
Exercice 7.2 : transformée de Lorentz générale
Corrigé des exercices
8. Lagrangien et champs relativistes
8.1. Lagrangien d’une particule
8.1.1. Particule libre
8.1.2. Remarques sur la notion de particule en relativité
8.1.3. Interaction d’une particule avec un champ vectoriel
8.1.4. Application aux champs 𝐸 et 𝐵 ..
8.2. Le champ électromagnétique
8.2.1. Quelques propriétés classiques
8.2.2. Les équations de Maxwell
8.2.3. Équations d’Euler-Lagrange des champs relativistes
8.2.4. Lagrangien du champ électromagnétique
8.3. Symétries de l’espace-temps
8.3.1. Le tenseur énergie-impulsion d’un champ
8.3.2. Tenseur densité de moment angulaire
8.3.3. Tenseur énergie-impulsion pour les particules
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 8.1 : recherche des invariants du champ électromagnétique
Exercice 8.2 : 𝐸. 𝐵 est une 4-divergence ..
Exercice 8.3 : tenseur énergie-impulsion électromagnétique
Corrigé des exercices
9. Fondements de la relativité générale
9.1. Le principe d’équivalence
9.1.1. Masse grave et masse inerte
9.1.2. Déviation des rayons lumineux
9.1.3. Retard gravitationnel
9.2. Géodésiques, connexion, dérivée covariante
9.2.1. Géodésiques et connexion affine
9.2.2. Dérivée covariante
9.2.3. Dérivée le long d’une courbe paramétrée
9.2.4. Particule libre et géodésiques
9.3. Tenseur de courbure et courbure
9.3.1. Tenseur de courbure
9.3.2. Déviation des géodésiques
9.3.3. Tenseur de Ricci et tenseur d’Einstein
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 9.1 : métrique et connexion de la sphère
Exercice 9.2 : dérivée covariante d’un vecteur covariant
Exercice 9.3 : tenseur de courbure de la sphère
Exercice 9.4 : tenseur de Ricci et courbure de la sphère
Corrigé des exercices
10. Lagrangien et relativité générale
10.1. Quel lagrangien ?
10.1.1. Champ gravitationnel
10.1.2. Matière et autres champs
10.1.3. Terme de couplage
10.1.4. Tenseur énergie-impulsion
10.2. Les équations d’Einstein
10.2.1. Variation de l’action gravitationnelle
10.2.2. Variation de l’action totale
10.3. Champ gravitationnel faible
10.3.1. Lien avec la gravitation newtonienne
10.3.2. Déviation des rayons lumineux
À retenir
Énoncé des exercices
Exercice 10.1 : tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique
Exercice 10.2 : retard des horloges
Corrigé des exercices
Conclusion
Index
Bibliographie
Livres de l'auteur Jean-Christophe Kraemer
