Analyse. Cours et exercices corrigés «MPSI-PCSI»

1 Nombres réels

1.1 Les ensembles usuels de nombres 

1.2 L’ensemble des nombres irrationnels 

1.2.1 Exemples des nombres irrationnels 

1.3 Construction de R 

1.3.1 Les nombres décimaux 

1.3.2 Ecriture décimale finie 

1.3.3 Nombres réels 

1.4 Structure de R 

1.4.1 Opérations dans R 

1.4.2 Ordre sur R 

1.5 Borne supérieure et borne inférieure 

1.5.1 Parties majorées et parties minorées 

1.5.2 Plus grand élément et plus petit élément 

1.5.3 Borne supérieure et borne inférieure 

1.5.4 Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure 

1.6 Principe d’Archimède et ses conséquences 

1.6.1 Densité dans R 

1.7 Racines n-ièmes 

1.8 Valeur absolue d’un réel 

1.8.1 Partie entière d’un réel 

1.9 Droite réelle achevée 

1.9.1 Les intervalles de R 

1.10 Exercices 

1.11 Corrigés 

2 Les suites numériques

2.1 Suites réelles 

2.1.1 Généralités sur les suites réelles 

2.1.2 Suites réelles convergentes 

2.1.3 Suites de Cauchy 

2.1.4 Suites extraites 

2.1.5 Opérations sur les suites convergentes 

2.1.6 Limites et ordres 

2.1.7 Convergence des suites monotones 

2.1.8 Suites adjacentes 

2.1.9 Suites géométriques 

2.1.10 Limite infinie d’une suite réelle 

2.2 Suites complexes 

2.2.1 Suites complexes convergentes 

2.2.2 Suites extraites 

2.2.3 Opérations sur les suites complexes convergentes 

2.2.4 Suites de Cauchy complexes 

2.3 Comparaison des suites 

2.3.1 Suites équivalentes 

2.3.2 Suites négligeables 

2.3.3 Suites dominées 

2.3.4 Suites de référence 

2.4 Exercices 

2.5 Corrigés 

3 Fonctions d’une variable réelle

3.1 Définitions de base, terminologie 

3.1.1 Injections, surjections, bijections 

3.1.2 Fonctions bornées 

3.1.3 Fonctions monotones d’une variable réelle 

3.2 Limites d’une fonction a variable réelle 

3.2.1 Définitions et notations 

3.2.2 Opérations sur les limites 

3.2.3 Propriété caractéristique de la limite d’une fonction 

3.2.4 Formes indéterminées 

3.2.5 Limite à gauche et limite à droite 

3.2.6 Limites d’une fonction monotone 

3.3 Continuité d’une fonction à variables réelles 

3.3.1 Définitions et notations 

3.3.2 Opérations sur les fonctions continues 

3.3.3 Exemples des fonctions continues 

3.3.4 Théorèmes des valeurs intermédiaires 

3.3.5 Prolongement par continuité 

3.3.6 Suite et continuité 

3.3.7 Fonction continue par morceaux 

3.3.8 Continuité uniforme 

3.4 Dérivabilité d’une fonction a variable réelle 

3.4.1 Définitions et notations 

3.4.2 Interprétation géométrique 

3.4.3 Dérivée à droite et dérivée à gauche 

3.4.4 Opérations élémentaires sur les dérivées 

3.4.5 Dérivée d’une fonction composée 

3.4.6 Dérivées successives 

3.4.7 Changement de variable 

3.4.8 Théorème de Rolle 

3.4.9 Théorème des accroissements finis 

3.4.10 Autre forme de la formule des accroissements finis 

3.4.11 Forme générale de la formule des accroissements finis

3.4.12 Règle de l’Hospital 

3.5 Fonctions réciproques 

3.5.1 Dérivée d’une fonction réciproque 

3.5.2 Fonctions circulaires réciproques 

3.6 Fonctions hyperboliques 

3.6.1 Fonction tangente hyperbolique 

3.7 Propriétés trigonométriques 

3.8 Exercices 

3.9 Corrigés 

4 Développements limités

4.1 Formule de Taylor-Lagrange 

4.2 Formule de Taylor-Young 

4.3 Développements limités 

4.4 Développements limités et dérivabilité 

4.5 Développements limités usuels (au voisinage de 0) 

4.6 Opérations sur les développements limités 

4.6.1 Restriction d’un développement limité 

4.6.2 Multiplication par une puissance de x − a 

4.6.3 Division par une puissance de x − a 

4.6.4 Intégration d’un développement limité 

4.6.5 Somme des développements limités 

4.6.6 Multiplication d’un développement limité par un scalaire

4.6.7 Multiplication de deux développements limités 

4.6.8 Composée de deux développements limités 

4.6.9 Quotient de deux développements limités 

4.6.10 Changement de variable 

4.7 Développements limités à l’infini 

4.8 Exercices 

4.9 Corrigés 

5 Calcul intégral

5.1 Intégrale de Riemann 

5.2 Subdivisions et sommes de Darboux 

5.3 Fonctions Riemann intégrables, intégrale de Riemann 

5.3.1 Critère d’intégrabilité de Riemann 

5.3.2 Propriétés de l’intégrale de Riemann 

5.4 Primitive d’une fonction continue 

5.4.1 Définition et propriétés 

5.4.2 Primitives de fonctions usuelles 

5.4.3 Intégration par partie 

5.5 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 

5.5.1 Définitions 

5.5.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 

5.5.3 Changement de variable d’intégration 

5.5.4 Intégration des fonctions rationnelles 

5.5.5 Intégration des expressions trigonométrique 

5.6 Volumes 

5.7 Travail et force hydrostatique 

5.7.1 Travail 

5.8 Pression et force hydrostatique 

5.9 Intégrales généralisées 

5.9.1 Intégrale impropre 

5.9.2 Intégrales doublement impropres 

5.9.3 Intégrales faussement impropres 

5.9.4 Propriétés de l’intégrale impropre 

5.9.5 Intégrales de référence 

5.10 Intégrale des fonctions positives 

5.10.1 Critères de convergence 

5.11 Intégrale des fonctions de signe quelconque 

5.11.1 Convergence absolue 

5.11.2 Critère d’Abel pour les intégrales de la forme fg

5.11.3 Intégrale semi-convergente 

5.12 Exercices 

5.13 Corrigés 

6 Équations différentielles 

6.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre 

6.1.1 Définition 

6.1.2 Résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre 

6.1.3 Méthode de variation de la constante 

6.1.4 Principe de superposition 

6.1.5 Recherche d’une solution particulière pour des équations différentielles linéaires à coefficients constants, pour des seconds membres b(x) spécifiques 

6.2 Equation du second ordre avec coefficients constantes 

6.2.1 Résolution de l’équation homogène 

6.2.2 Résolution de l’équation avec second membre 

6.3 Changement de fonction ou de variable dans une équation différentielle 

6.3.1 Équations d’Euler 

6.3.2 Équations de Bernoulli 

6.4 Exercices 

6.5 Corrigés 

6.6 Examen

7 Séries numériques

7.1 Généralités 

7.1.1 Exemples de séries numériques 

7.1.2 Opération sur les séries 

7.2 Convergence des séries numériques 

7.3 Critères de convergence 

7.3.1 Critère de Cauchy 

7.4 Critères de convergence des séries à termes positifs 

7.4.1 Séries à termes positifs 

7.4.2 Critères de comparaison 

7.4.3 Critère d’équivalence 

7.4.4 Critère d’intégrale 

7.4.5 Série de Riemann 

7.4.6 Règle de Riemann 

7.4.7 Série de Bertrand 

7.4.8 Convergence par comparaison logarithmique 

7.4.9 Critère de d’Alembert 

7.4.10 Critère de Cauchy 

7.4.11 Critères de Raabe et Duhamel 

7.5 Séries à termes quelconques 

7.5.1 Séries alternées 

7.5.2 Séries absolument convergentes 

7.5.3 Critère d’Abel 

7.6 Exercices 

7.7 Corrigés 

8 Série entière et séries de Fourier

8.1 Série entière 

8.2 Convergence d’une série entière 

8.2.1 Rayon de convergence d’une série entière 

8.3 Méthodes pratiques pour calculer R 

8.3.1 Règle de d’Alembert 

8.3.2 Règle de Hadamard 

8.3.3 Comparaison de rayons de convergence 

8.4 Opérations sur les séries entières 

8.4.1 Structure algébrique 

8.5 Propriétés de la fonction somme 

8.5.1 Continuité 

8.5.2 Intégration 

8.5.3 Dérivation 

8.6 Fonctions développables en série entière 

8.6.1 Application aux équations différentielles ordinaires 

8.7 Séries de Fourier 

8.7.1 Interprétation géométrique des séries de Fourier 

8.7.2 Inégalité de Bessel 

8.8 Exercices 

8.9 Corrigés 

8.10 Examen 

Bibliographie

Index