Voyage au Cœur des Espaces Non-Archimédiens. Une nouvelle vision des opérateurs linéaires

1 Notations 

2 Introduction

3 Valuation non-Archimédienne sur un corps

3.1 Concepts et caractéristiques 

3.1.1 Valeurs absolues sur un corps 

3.1.2 Valuation sur un corps 

3.1.3 Valuation non-Archimédienne 

3.2 Nombres p-adiques 

3.2.1 Valuation p-adique sur Q 

3.2.2 Valeur absolue p-adique sur Q 

3.3 Distance métrique et ultramétrique 

3.3.1 Distance métrique 

3.4 Distance ultramétrique 

3.4.1 Exemples des distances ultramétrique 

3.5 Valuation discrète et valuation dense 

3.6 Complétions de Q 

3.6.1 Développement de Hensel 

3.7 Propriétés topologiques des corps valués non-Archimédien

3.7.1 Corps valué compact 

3.7.2 Corps valué localement compact 

3.8 Analyse classique non-Archimédienne 

3.8.1 Convergence des suites dans le cas non-Archimédienne

3.8.2 Série p-adique 

3.9 Exercices du chapitre 2

4 Introduction aux espaces non-Archimédiens

4.1 Métrique non-archimédienne 

4.2 Boules et voisinages dans un espace métrique non-archimédien

4.2.1 Espace localement-non-archimédienne 

4.2.2 Problème ouvert 

4.3 Espaces vectoriels sur un corps value non-archimedien 

4.3.1 Semi-normes non-Archimédiennes 

4.4 Normes non-Archimédiennes 

4.4.1 Propriétés des espaces normés 

4.4.2 Boules et voisinages 

4.4.3 Propriétés topologiques 

4.4.4 Espace de Banach non-Archimédienne 

4.4.5 Espace de Banach non-Archimédien libre 

4.5 Orthogonalité dans un espace de Banach non-Archimédien 

4.5.1 Espaces de Hilbert non-Archimédien 

4.6 Espaces sphériquement complets 

4.7 Sommes et produits d’espaces normés non archimédiens 

4.7.1 Théorème de Hahn-Banach : version non-archimédienne

4.8 Exercices du chapitre 3 

5 Opérateurs linéaires entre des espaces non-archimédiens

5.1 Opérateurs linéaires bornés 

5.1.1 Définitions et exemples 

5.1.2 Norme d’un opérateur 

5.1.3 Propriétés des opérateurs linéaires bornés 

5.1.4 L’inverse d’un opérateur borné 

5.1.5 Opérateurs linéaires bornés dans les espaces de Banach non-Archimédiens libres 

5.2 Opérateurs linéaires non bornés 

5.2.1 Opérateurs linéaires fermés et fermables 

5.3 Opérateurs linéaires fermables 

5.4 Opérateurs linéaires compacts 

5.5 Opérateurs linéaires de Fredholm et semi-Fredholm 

5.6 Spectre d’un opérateur linéaire 

5.6.1 Spectre essentiel d’un opérateur linéaire 

5.6.2 Le spectre des opérateurs linéaires diagonaux sur les espaces de Banach non-Archimédiens 

5.7 Opérateurs adjoints sur les espaces de Hilbert non-Archimédiens

5.8 Exercices du chapitre 4 

6 Perturbations d’opérateurs linéaires non-Archimédiens

6.1 Suites des opérateurs linéaires dans un espace de Banach non-Archimédien 

6.1.1 Gap entre les sous-espaces 

6.1.2 Gap entre les opérateurs linéaires 

6.1.3 Convergence au sens généralisé des suites des opérateurs linéaires 

6.2 Opérateur A-borné 

6.3 Perturbation des opérateurs semi Fredholm dans un espace de Banach non-Archimédiennes

6.3.1 Opérateurs strictement singuliers 

6.3.2 Stabilité par perturbation strictement singuliers 

6.4 Opérateurs quasi-compacts 

6.5 Exercices du chapitre 5 

7 Pseudospectres dans un espace non-archimédien

7.1 Pseudospectre d’un opérateur linéaire dans un espace de Banach archimédien 

7.1.1 Définition 

7.1.2 Exemples 

7.2 Propiétés du pseudospectre 

7.3 Une différence entre σƐ(A) et ΣƐ(A) 

7.3.1 Autres définitions de σƐ(A) 

7.3.2 Différence entre σƐ(A) et ΣƐ(A) 

7.4 Pseudospectres des opérateurs linéaires dans un espace de Banach -non-archimédien Eω

7.4.1 Les pseudospectres des opérateurs linéaires sur un espace de Banach non-archimédien 

7.4.2 Pseudospectre essentiel des opérateurs linéaires sur Eω

7.5 "-pseudo-spectre conditionnel dans un espace Banach archimédien

7.6 Caractérisation du pseudospectre conditionnel d’un opérateur linéaire borné 

7.7 Application : Pseudospectre conditionnel et estimation de l’effet transitoire dans un système dynamique linéaire 

7.7.1 Estimation de l’effet transitoire dans un système dynamique linéaire dépendant du temps continu 

7.7.2 Estimation de l’effet transitoire dans un système dynamique linéaire dépendant du temps discret 

7.8 "-pseudo-spectre conditionnel d’opérateurs bornés sur un espace de Banach non Archimédien

7.9 Exercices du chapitre 6