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L’art de la convergence : Suites et Séries de Fonctions. Cours et Exercices
Auteur :
« L’art de la convergence : Suites et séries de fonctions » constitue le deuxième volume d’une série fondamentale en analyse, faisant suite au premier livre dédié aux suites et séries numériques.
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Rubrique :
Mathématiques
ISBN :
9782383952596
Référence :
2259
À paraître
« L’art de la convergence : Suites et séries de fonctions » constitue le deuxième volume d’une série fondamentale en analyse, faisant suite au premier livre dédié aux suites et séries numériques. Ce nouvel ouvrage prolonge et élargit le cadre précédent en offrant une étude complète et rigoureuse des suites et séries de fonctions. Il aborde de manière systématique les différentes notions de convergence : simple, uniforme, en moyenne et normale et en explore les implications théoriques et pratiques.
Structuré en six chapitres progressifs, ce volume se distingue par sa démarche pédagogique alliant rigueur formelle et accessibilité. Il s’appuie sur de nombreux exemples et contre-exemples qui éclairent les subtilités des concepts abordés. Le contenu couvre l’ensemble des généralités sur les suites et séries de fonctions indispensables à la maîtrise des séries entières et des séries de Fourier, qui feront l’objet des prochains volumes de la série.
L’ouvrage approfondit des thèmes avancés tels que les fonctions à base fractale, la fonction zêta de Riemann et les liens avec l’intégration de Lebesgue et les espaces fonctionnels. Comprenant 79 exercices intégralement corrigés, spécialement conçus pour la préparation aux concours, il s’adresse principalement aux candidats à l’agrégation de mathématiques, aux élèves de classes préparatoires scientifiques (prépa CPGE), aux étudiants de licence et aux étudiants se destinant aux grandes écoles.
Grâce à sa présentation claire, son approche pédagogique et son corpus complet d’exercices et d’illustrations, ce manuel s’impose comme un outil de référence pour approfondir sa compréhension de l’analyse fonctionnelle et se préparer efficacement aux épreuves des concours scientifiques les plus exigeants, tout en établissant des ponts avec des applications modernes en physique mathématique et en théorie du signal.
| Référence : | 2259 |
| Nombre de pages : | 432 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Ait Ben Hassi El Mustapha | Auteur |
Avant-propos
1 Suites de fonctions
1.1 Convergence d’une suite de fonctions
1.1.1 Convergence simple
1.1.2 Convergence uniforme
1.1.3 Convergence localement uniforme
1.2 Convergence simple⇒convergence uniforme
1.2.1 Théorèmes de Dini
1.2.2 Régularité uniforme
1.3 Propriétés de la limite
1.3.1 Convergence uniforme et interversion de limites
1.3.2 Convergence uniforme et continuité
1.3.3 Convergence simple et continuité
1.3.4 Convergence uniforme et intégration
1.3.5 Convergence uniforme et dérivation
1.3.6 Convergence uniforme et holomorphie
1.4 Approximation uniforme
1.4.1 Approximation par des fonctions moins régulières . 76
1.4.2 Approximation par des polynômes
1.4.3 Théorème de Stone-Weierstraß
1.4.4 Approximation par des polynômes trigonométriques 89
1.4.5 Théorème deMuntz
1.4.6 Approximation par des polynômes interpolateurs
1.5 Produit de convolution
1.5.1 Produit de convolution
1.5.2 Approximation de l’unité
1.6 Suites de fonctions particulières
1.6.1 Fonction de Riemann
1.6.2 La courbe de Peano
1.6.3 L’escalier du diable
1.7 Exercices corrigés
1.7.1 Modes de convergence
1.7.2 Approximations d’une fonction
2 Séries de fonctions
2.1 Convergence d’une série de fonctions
2.1.1 Convergence simple
2.1.2 Convergence uniforme
2.1.3 Convergence localement uniforme
2.1.4 Convergence absolue
2.1.5 Convergence normale
2.2 Propriétés de la somme
2.2.1 Convergence uniforme et interversion de limites
2.2.2 Convergence uniforme et continuité
2.2.3 Intégration terme à terme
2.2.4 Dérivation terme à terme
2.2.5 Série de fonctions et holomorphie
2.3 Exercices corrigés
2.3.1 Modes de convergence
2.3.2 Continuité et dérivabilité de la somme
2.3.3 Intégration terme à terme
2.3.4 Étude asymptotique de la somme et du reste
2.3.5 Autres
3 Fonctions nulle part dérivables
3.1 Étude de la fonction de Takagi
3.2 Densité de telles fonctions
3.3 La fonction de van derWaerden-Takagi
3.3.1 Continuité et nulle part dérivabilité
3.3.2 Régularité Hölérienne
3.4 Étude de la fonction de LiuWen
4 La fonction zêta de Riemann
4.1 Définition et exemples
4.2 Étude de la fonction zêta sur ]1,+∞[
4.2.1 Quelques propriétés de la fonction zêta
4.2.2 Comportement au voisinage de +∞
4.2.3 Comportement au voisinage de 1
4.2.4 Représentation graphique
4.3 Prolongement analytique
4.3.1 Prolongement au demi-plan Π1
4.3.2 Prolongement sur Re(s) > 0
4.3.3 Prolongement sur C\{0,1}
4.4 Fonction zêta et produit Eulérien
4.5 Les séries de Dirichlet
5 Suites et espaces fonctionnels
5.1 Suites et intégrale de Lebesgue
5.1.1 La mesurabilité et passage à la limite
5.1.2 Théorèmes de convergence pour les intégrales
5.1.3 Complétude des espaces Lp
5.1.4 Les espaces Lp et densité
5.2 Théorème d’Ascoli
5.3 Théorèmes de Banach-Alaoglu
6 Évaluations avec solutions
6.1 Évaluation 1 : Extrait de CCP, PSI
6.2 Évaluation 2 : Extrait de ENSAIT
6.3 Évaluation 3 : Extrait de CCP, MP
6.4 Évaluation 4 : Extrait de CCP, MP
Bibliographie
Index
Livres de l'auteur El Mustapha Ait Ben Hassi
