Convolution imprécise et signaux échantillonnés : encore

La grande majorité des signaux échantillonnés étant en fait des versions échantillonnées de signaux continus, une part importante des techniques de traitement du signal numérique vise à mimer, par des opérations discrètes, des opération se déroulant dans le domaine continu. La plupart des modèles utilisés en traitement du signal sont des approximations linéaires de systèmes non-linéaires. La relation entre l’entrée et la sortie de ce système s’écrit sous la forme d’un produit de convolution entre le signal d’entrée et une fonction de R dans R appelée réponse impulsionnelle du système. Pour mimer une opération continue par une opération discrète, la technique la plus simple consiste à échantillonner la réponse impulsionnelle du système continu et d’utiliser cet échantillonnage comme réponse impulsionnelle du système numérique. Cependant, pour que cette échantillonnage ait un sens, il faut que la réponse impulsionnelle continue ait été échantillonnée avec le même noyau d’échantillonnage que celui utilisé pour échantillonner le signal d’entrée, ce dernier étant généralement inconnu. Dans des travaux antérieurs, nous avons montré qu’il était possible de trouver l’ensemble (convexe) de toutes les valeurs qu’on aurait pu obtenir avec un ensemble convexe de noyaux d’échantillonnage. On obtient ainsi une réponse impulsionnelle imprécise, c’est à dire que chaque élément de cette fonction est un intervalle. Nous proposons ici une méthode générale permettant d’utiliser cette information pour calculer l’ensemble convexe des sorties du système numérique correspondant, c’est à dire l’ensemble des sorties échantillonnées qui auraient été obtenues en considérant un ensemble (convexe) de noyaux d’échantillonnage.