Ce livre, en deux tomes, est une introduction à la topologie algébrique.
Ce Tome II introduit la cohomologie, qui est une théorie duale de l'homologie, et examine les liens avec cette dernière ainsi que les divers produits construits sur les modules d'homologie et de cohomologie. Nous étudions en détail les variétés topologiques avec ou sans bord, définissons sur celles-ci au moyen de l'homologie une notion d'orientation et la comparons avec les définitions classiques d'orientation pour les variétés différentiables ou triangulables. Nous exposons les théorèmes de dualité de Poincaré, Alexander et Lefschetz et en déduisons les propriétés des formes d'intersection et de la signature des variétés.
Le dernier chapitre du livre présente les résultats fondamentaux concernant la différentiabilité et la triangulabilité des variétés, obtenus depuis les années soixante du siècle dernier, tant en grandes dimensions qu'en dimension quatre. Nous discutons également la conjecture de Poincaré classique et ses généralisations. Bien que des démonstrations complètes de ces résultats soient hors de portée d'un ouvrage tel que le nôtre, nous nous sommes attachés à rendre leurs énoncés compréhensibles. Cette vue d'ensemble, et les références à la littérature qui l'accompagnent, fournissent une introduction aux développements récents dans ce riche domaine de la topologie.
Introduction Tome II
Deuxième partie : Cohomologie
15 Définitions et exemples de cohomologies 15.1 Complexes de cochaînes algébriques 15.2 Coefficients universels en cohomologie 15.3 Cohomologies singulière et simpliciale 15.4 Deux théorèmes de Hopf 15.5 Exercices
16 Produits en cohomologie 16.1 Produit cross en cohomologie 16.2 Produit cup 16.3 Produit cap 16.4 Produit slant 16.5 Exercices
Supplément `a la deuxième partie
Troisième partie : Variétés
17 Structures sur les variétés 17.1 Variétés topologiques 17.2 Variétés différentiables 17.3 Variétés triangulables 17.4 Exercices
18 Orientation et homologie des variétés 18.1 Orientation des variétés topologiques 18.2 Orientation des variétés différentiables 18.3 Orientation des variétés triangulables 18.4 Exercices
19 Dualités de Poincaré, d’Alexander et de Lefschetz 19.1 Classe d’orientation 19.2 Dualité de Poincaré 19.3 Applications de la dualité de Poincaré 19.4 Dualité d’Alexander 19.5 Applications bilinéaires d’intersection 19.6 Dualité de Lefschetz 19.7 Exercices
20 Prolongements 20.1 Variétés PL 20.2 Sommes connexes orientées 20.3 Variétés de dimensions 1 et 2 20.4 Variétés de dimension 3 20.5 Variétés de dimension 4 20.6 La Conjecture de Poincaré 20.7 Variétés de grandes dimensions 20.8 Triangulations non combinatoires des variétés 20.9 Structures PL et DIFF sur les espaces euclidiens 20.10 Plongements de variétés 20.11 Groupes et anneaux de bordismes
