- À paraître
Ce troisième volume de la série « L’Art de la convergence », s’inscrivant dans la continuité des ouvrages dédiés aux suites et séries numériques puis aux suites et séries de fonctions, propose une étude exhaustive des séries entières organisée en quatre chapitres principaux.
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Rubrique :
Mathématiques
ISBN :
9782383952664
Référence :
2266
À paraître
Ce troisième volume de la série « L’Art de la convergence », s’inscrivant dans la continuité des ouvrages dédiés aux suites et séries numériques puis aux suites et séries de fonctions, propose une étude exhaustive des séries entières organisée en quatre chapitres principaux.
Le premier chapitre couvre les généralités : définitions fondamentales des séries entières et du rayon de convergence, opérations algébriques incluant somme et produit de Cauchy, méthodes pratiques de détermination du rayon via les critères de d’Alembert et Cauchy-Hadamard, différents modes de convergence, régularité de la fonction somme avec continuité et dérivation terme à terme, et les fonctions développables en série entière incluant le théorème de Bernstein et les développements classiques, avec extensions aux fonctions complexes et exponentielles de matrices.
Le deuxième chapitre approfondit l’étude qualitative : propriétés analytiques comme l’holomorphie et l’analyticité, étude des zéros des fonctions analytiques, comportement sur le cercle de convergence avec les théorèmes d’Abel et résultats taubériens, et diverses applications aux séries numériques, équations différentielles, calcul intégral, dénombrement et probabilités.
À la fin des deux premiers chapitres, 80 exercices intégralement corrigés permettent de consolider l’ensemble des notions abordées.
Le troisième chapitre présente des compléments sur les séries entières multiples, les domaines de Reinhardt, la fonction de Mattag-Leffler et la fonction polylogarithmique.
Le dernier chapitre propose une auto-évaluation sous la forme de six problèmes résolus, offrant ainsi une synthèse pratique des compétences acquises.
Ce volume s’intègre dans un projet pédagogique plus vaste de quatre tomes, formant une tétralogie complète sur l’analyse des suites et séries, alliant rigueur théorique et applications pratiques dans une progression structurée.
| Référence : | 2266 |
| Nombre de pages : | 456 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Ait Ben Hassi El Mustapha | Auteur |
Avant-propos
1 Généralités sur les séries entières
1.1 Définitions et convergence
1.1.1 Définitions et notations
1.1.2 Rayon de convergence
1.2 Opérations algébriques
1.2.1 Multiplication d’une série entière par un scalaire
1.2.2 Somme de deux séries entières
1.2.3 Produit de Cauchy de deux séries entières
1.3 Détermination du rayon de convergence
1.3.1 Encadrement du rayon de convergence
1.3.2 Utilisation du critère de d’Alembert
1.3.3 Séries lacunaires
1.3.4 Utilisation du critère de Cauchy-Hadamard
1.3.5 Comparaison des séries entières
1.4 Modes de convergence d’une série entière
1.4.1 Convergence simple et uniforme
1.4.2 Convergence normale
1.4.3 Convergence uniforme non normale
1.5 Régularité de la fonction somme
1.5.1 Continuité de la fonction somme
1.5.2 Dérivation et intégration de la somme
1.6 Fonction développable en série entière
1.6.1 Définitions
1.6.2 Série de Taylor
1.6.3 Opérations sur les fonctions DSE
1.6.4 Théorème de Bernstein pour le DSE
1.6.5 Développements en séries entières classiques
1.6.6 Applications des méthodes de DSE
1.7 Calcul de la somme d’une série entière
1.7.1 Cas des coefficients polynomiaux en n
1.7.2 Cas des coefficients rationnels en n
1.7.3 Utilisation du changement de variables
1.8 Fonctions usuelles de la variable complexe
1.8.1 La fonction exponentielle complexe
1.8.2 Fonctions trigonométriques et hyperboliques
1.9 Exponentielle de matrice
1.9.1 Extension de la notion de série entière
1.9.2 Exponentielle de matrice et d’endomorphisme
1.10 Exercices corrigés
2 Étude qualitative d’une série entière
2.1 Séries entières, holomorphie et analyticité
2.1.1 Séries entières et holomorphie
2.1.2 Séries entières et analyticité
2.2 Zéros d’une fonction analytique
2.2.1 Zéros d’une fonction analytique
2.2.2 Zéros de la somme d’une série entière
2.3 Comportement sur le cercle d’incertitude
2.3.1 Convergence au bord
2.3.2 Théorèmes d’Abel
2.3.3 Théorèmes taubériens
2.3.4 Théorèmes taubériens et chemins réguliers
2.3.5 Régularités des points du cercle d’incertitude
2.4 Quelques applications
2.4.1 Séries entières et somme d’une série numérique
2.4.2 Séries entières et équation différentielle
2.4.3 Séries entières et calcul d’intégrales
2.4.4 Séries entières et constantes classiques
2.4.5 Séries entières et dénombrement
2.4.6 Séries entières et probabilités
2.5 Exercices corrigés
3 Compléments
3.1 Sériesmultiples et domaines de Reinhardt
3.1.1 Notations et quelques rappels
3.1.2 Séries entières multiples
3.1.3 Domaines de Reinhardt
3.1.4 Phénomène de prolongement holomorphe
3.2 La Fonction deMittag-Leffler
3.2.1 La Fonction deMittag-Leffler
3.2.2 Dérivées Fractionnaires
3.2.3 Équations différentielles fractionnaires linéaires
3.3 Fonctions Polylogarithmiques
4 Auto-évaluation
4.1 Évaluation 1
4.2 Évaluation 2
4.3 Évaluation 3
4.4 Évaluation 4
4.5 Évaluation 5
4.6 Évaluation 6
Bibliographie
Index
Livres de l'auteur El Mustapha Ait Ben Hassi
