- À paraître
Des cordes vibrantes à la transmission des signaux, des équations de la chaleur au traitement d’image : les séries de Fourier sont partout. Ce quatrième volume de L’art de la convergence dévoile la puissance de cet outil mathématique fondamental, prolongeant naturellement l’étude des convergences amorcée dans les tomes précédents.
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Rubrique :
Mathématiques
ISBN :
9782383953012
Référence :
2301
À paraître
Des cordes vibrantes à la transmission des signaux, des équations de la chaleur au traitement d’image : les séries de Fourier sont partout. Ce quatrième volume de L’art de la convergence dévoile la puissance de cet outil mathématique fondamental, prolongeant naturellement l’étude des convergences amorcée dans les tomes précédents.
Conçu comme un véritable compagnon d’apprentissage, l’ouvrage guide le lecteur à travers une progression pédagogique en quatre temps :
• Fondements et convergence : des coefficients de Fourier aux théorèmes de Dirichlet et Fejér ;
• Applications : résolution d’équations aux dérivées partielles, filtrage et analyse spectrale ;
• Extensions modernes : analyse multidimensionnelle, transformée de Fourier discrète et espaces de Sobolev ;
• Problèmes corrigés : cinq problèmes issus de concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs pour s’entraîner efficacement.
Riche de plus de 40 exercices intégralement corrigés, cet ouvrage ne se contente pas d’exposer la théorie : il offre les clés pour la maîtriser en profondeur et l’appliquer avec aisance.
Destiné aux candidats à l’agrégation, aux élèves des écoles d’ingénieurs, aux étudiants de master et licence et aux élèves des classes préparatoires, ce livre constitue une référence rigoureuse et accessible sur l’analyse harmonique.
Une invitation à voir la musique des fonctions là où d’autres ne voient que des courbes.
| Référence : | 2301 |
| Nombre de pages : | 468 |
| Format : | 16x24 cm |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Ait Ben Hassi El Mustapha | Auteur |
Avant-propos
1 Fondements des séries de Fourier
1.1 Généralités et notations
1.1.1 Fonction continue par morceaux
1.1.2 Fonction périodique
1.1.3 Convolution de deux fonctions périodiques
1.1.4 Fonction à variation bornée
1.1.5 Fonction absolument continue
1.1.6 Fonction α−hölderienne
1.2 Séries trigonométriques
1.2.1 Introduction et définitions
1.2.2 Convergence des séries trigonométriques
1.2.3 Dérivation et intégration de la somme
1.3 Construction des séries de Fourier
1.3.1 Cadres fonctionnels
1.3.2 Structure préhilbertienne de CRm,2π(R, C)
1.3.3 Approximation de l’unité
1.3.4 Coefficients de Fourier d’une fonction
1.3.5 Propriétés des coefficients de Fourier
1.4 Développement en série de Fourier
1.4.1 Théorèmes de convergence de type Dirichlet
1.4.2 Théorème de convergence de Fejér
1.4.3 Théorème de convergence d’Abel-Poisson
1.4.4 Théorème de Dini-Lipschitz et estimations
1.5 Quelques comparaisons et commentaires
1.5.1 Comparaison des trois noyaux trigonométriques
1.5.2 Relation entre régularité et coefficients de Fourier
1.6 Fonction T−périodique
1.6.1 Séries de Fourier
1.6.2 Bases de Fourier
1.7 Exercices corrigés
1.7.1 Calcul de sommes et d’intégrales
1.7.2 Quelques noyaux trigonométriques
1.7.3 Applications des séries de Fourier
1.7.4 Exercices de synthèse
2 Approfondissements et mise en œuvre
2.1 Fonctions à Série divergente
2.2 Séries trigonométriques vs Fourier
2.2.1 Série trigonométrique et série de Fourier quel lien?
2.2.2 Critères suffisants d’identification
2.3 Phénomène de Gibbs
2.3.1 Exemple : signal carré
2.3.2 Exemple : signal en dents de scie
2.3.3 Exemple : traitement d’image
2.4 Mise en oeuvre avec python
2.4.1 Signal carré
2.4.2 Signal en dents de scie
2.4.3 Signal triangulaire
2.4.4 Comparaison synthétique des trois signaux
3 Applications des séries de Fourier
3.1 Sommes de quelques séries
3.2 Valeur moyenne d’une fonction
3.3 Développement eulérien
3.4 L’inégalité deWirtinger
3.5 Inégalité de Bernstein
3.6 Formule sommatoire de Poison
3.7 Sommes de Gauss et intégrales de Fresnel
3.8 Équation différentielle ordinaire
3.9 Équation aux dérivées partielles
3.9.1 Équation de la chaleur
3.9.2 Équation des ondes avec conditions périodiques
3.9.3 Équation de Poisson dans un disque
3.10 Inégalité isopérimétrique
4 Thèmes Complémentaires
4.1 Bases de Fourier en dimension 2
4.1.1 Séries de Fourier en dimension 2
4.1.2 Régularité et convergence
4.2 Transformée de Fourier Discrète
4.2.1 Transformée de Fourier Discrète en dimension 1
4.2.2 Transformée de Fourier Discrète en dimension 2
4.3 Espaces de Sobolev périodiques
4.3.1 Espaces de Sobolev périodiques en dimension 1
4.3.2 Espaces de Sobolev périodiques en dimension 2
5 Problèmes avec solutions
5.1 Problème 1
5.2 Problème 2
5.3 Problème 3
5.4 Problème 4
5.5 Problème 5
Bibliographie
Index
Livres de l'auteur El Mustapha Ait Ben Hassi
