Algèbre et informatique - Applications aux codes linéaires correcteurs d'erreurs 2e éd.
Auteur :
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Rubrique :
Pierre Meunier Series - Maths
ISBN :
9782364935488
Référence :
1548
Année de parution :
2016
De nos jours, l'information occupe une place prépondérante dans la vie de chacun de nous ; encore faut-il que son mode d'acheminement soit fiable ou, à tout le moins, susceptible d'être corrigé.
Cet ouvrage apporte des réponses à la problématique qui vient d'être exposée grâce à la mise en uvre de protocoles mathématiques capables de reconstituer intégralement la communication originelle sous réserve, cependant, qu'il n'y ait pas eu trop d'erreurs de transmission.
| Référence : | 1548 |
| Nombre de pages : | 240 |
| Format : | 14,5x20,5 |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Meunier Pierre | Auteur |
INTRODUCTION
Chapitre 0 - Rappels de cours
R1 : Rappels sur les groupes.
R2 : Rappels de cours sur les anneaux et les corps.
R3 : Rappels d'algèbre linéaire.
Chapitre 1 - Algorithmes de Berlekamp-Massey et de Cantor-Zassenhaus
1.1 Les suites à récurrence linéaire
1.1.1 Des résultats essentiels.
1.2 L'algorithme de Berlekamp-Massey.
1.2.1 Présentation de l'algorithme
1.2.2 Application : l'algorithme de Wiedmann
1.3 Retour à de l'arithmétique polynomiale
1.3.1 Rappels :
1.3.2 Une application arithmétique :
1.4 Théorèmes de factorisation polynomiale : le théorème de Berlekamp et le théorème de Cantor-Zassenhaus.
1.4.1 Un théorème d'algèbre fondamental.
1.4.2 L'algorithme de Berlekamp
1.4.2.1 Analyse du problème :
1.4.2.2 Mise en forme pratique.
1.4.3 Théorème et algorithme de factorisation de Cantor-Zassenhaus
1.4.3.1 Des résultats mathématiques indispensables
1.4.3.2 L'algorithme de Cantor-Zassenhaus
Chapitre 2 - Codes correcteurs d’erreurs : introduction
2.1 Introduction
2.2 Quelques définitions ; la distance de Hamming
2.3 Codes linéaires de type (n, k, d) sur un corps K.
2.3.1 Généralités
2.3.2 Taux d'information et bornes sur les codes linéaires.
2.4 Matrice génératrice et matrice de contrôle d'un code linéaire
2.4.1 Matrice génératrice
2.4.2 Matrice de contrôle (de parité) d'un code linéaire
2.4.3 Le vecteur syndrome
2.4.4 Construction algorithmique d'une matrice de contrôle d'un code linéaire à partir de la connaissance d'une matrice génératrice.
2.4.5 Expression de H en fonction de G dans un cas particulier.
2.5 Un exemple élémentaire de code linéaire : code de Hamming (7, 4, 3).
2.6 Notions complémentaires concernant les codes linéaires.
2.6.1 Distribution des poids d'un code.
2.6.2 La notion de bon-code.
2.6.3 Les codes linéaires induits.
2.6.3.1 Généralités.
2.6.3.2 Applications :
Chapitre 3 – Codes linéaires cycliques
3.1 Définitions d'un code linéaire cyclique dans Kn
3.2 Une propriété fondamentale des codes linéaires cycliques dans Kn
3.3 Exemples de codes cycliques
3.3.1 Généralités
3.3.2 Les codes B-C-H (Bose-Chandhuri-Hocquenghen)
3.3.3 Un cas particulier très important : les codes de Reed-Solomon.
3.3.3.1 Généralités.
3.3.3.2 Utilisation pratique des codes de Reed-Solomon.
3.4 Construction de diviseurs unitaires dans K[X], de Xn-1 ; codes associé. Cas particulier : les codes binaires de Hamming.
3.5 Codes cycliques associés aux résidus quadratiques ; le code binaire de Golay : G23 et le code ternaire G11 ; généralisation.
3.5.1 Définition
3.5.2 Exemples.
3.5.2.1 Généralisation à un cas particulier important.
3.6 Les codes cycliques binaires de Bose
Chapitre 4 – Codes de Goppa
A - CODES ALGEBRIQUES DE GOPPA
4.1 Des définitions et leurs premières conséquences
4.1.1 Définition d'un code algébrique de Goppa
4.1.2 Conséquences ; matrice de parité alternante
4.2 Mise en forme pratique. Exemple d'étude de code algébrique de Goppa
4.2.0.1 Exemple
4.3 Quelques compléments concernant les codes algébriques binaires de Goppa
4.3.1 Un résultat intéressant
4.3.2 Un peu de mathématiques à propos des polynômes irréductibles
4.3.3 Des exemples
4.4 Généralisations complémentaires à certains codes de Goppa définis à partir d'un corps de Frobénius Fp , pour p > à 2
B - CODES GEOMETRIQUES DE GOPPA - ASSOCIES AUX COURBES ELLIPTIQUES
4.5 Introduction : les courbes algébriques ; cas des courbes elliptiques
4.6 Etude de la K - algèbre (K[X,Y]/(F(X,Y))) où F(x,y) = 0 est l'équation d'une courbe algébrique sur K ; cas des courbes elliptiques ; applications aux codes linéaires
4.6.1 Définition d'une fonction poids
4.6.2 Le K- espace vectoriel Vk (C)
4.6.3 Cas particulier où K est un corps fini et où E(K) est une courbe elliptique sur K
4.7 Exemples de codes géométriques de Goppa fabriqués à partir des courbes elliptiques
Chapitre 5 – Décodage des codes linéaires
5.1 Généralités sur le décodage des codes linéaires
5.2 Décodage par "force brute"
5.3 Décodages relatifs aux codes cycliques ; cas des codes de Reed-Solomon
5.3.1 Rappels
5.3.2 Le Syndrome polynomial
5.3.3 Cas particulier de certains codes de Reed-Solomon
5.3.3.1 Décodage via l'algorithme d'Euclide
5.3.3.2 Décodage via l'algorithme de Berlekamp-Massey
5.4 Décodage associé à un code binaire cyclique de Bose
5.4.1 Rappels
5.4.2 Le décodage
5.5 Décodage des codes algébriques de Goppa. Exemples
5.5.1 Rappels
5.5.2 Technique de décodage pour un code Goppa "générique"
5.5.3 Décodage des codes binaires irréductibles de Goppa
5.5.4 Décodage des codes géométriques de Goppa constitués à partir d'une courbe elliptique.
ANNEXE NUMERIQUE DES CHAPITRES PRECEDENTS
Chapitre 6 – Application des codes correcteurs d’erreurs à la cryptographie
6.1 Rappels cryptographiques
6.2 Le cryptosystème de Mac-Eliece associé à un code linéaire générique
6.3 Une variante : le cryptosystème de Niederreiter
6.4 Cryptosystème de Mac-Eliece élaboré à partir des codes binaires de Goppa
6.5 Conclusion
Index alphabétique
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