Réduction des Endomorphismes
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Avec le passage au L-M-D, il est utile de fournir à l'étudiant des outils adaptés à ces nouveaux modes de fonctionnement.
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Rubrique :
Bien Débuter en Mathématiques
ISBN :
9782854287813
Référence :
781
Année de parution :
2007
À l'aube de la réforme de la structure de nos enseignements et du passage au L-M-D (Licence, Mastère, Doctorat), il nous a paru utile de fournir à nos étudiants des outils adaptés à ces nouveaux modes de fonctionnement.
Les rappels de cours et les exercices
Cet ouvrage suppose connus les éléments fondamentaux d'algèbre linéaire, et traite de la réduction des endomorphismes : après avoir traité les déterminants et les systèmes linéaires, nous concentrons notre propos sur la diagonalisation et la triangulation des matrices. Bien que le sujet ne soit plus au programme des classes préparatoires aux grandes écoles, nous terminons ce fascicule par la réduction de Jordan. Autant que faire ce peut, nous avons suivi le plan et adopté les notations de l'excellent livre d'Algèbre Linéaire de Joseph Grifone, (Éditions CÉPADUÈS). L'algèbre linéaire ayant une place prépondérante dans l'enseignement des mathématiques et dans les concours, cet ouvrage sera utile aux étudiants de L1, L2, L3, des Classes Préparatoires, mais aussi aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. de Mathématiques. Chaque chapitre contient un rappel de cours complet et une liste d'exercices, chacun d'entre eux étant suivi d'une solution rédigée avec soin. Les exercices choisis reviennent immanquablement, sous une forme ou une autre, dans l'épreuve d'algèbre des examens et des concours.
Une méthode ... vers l'auto-formation
Classés dans chaque section par ordre de difficulté croissante, les exercices permettront au lecteur de tester son niveau et sa progression. Les rappels de cours viennent en appui de ce dispositif. S'ils ne remplacent évidemment pas un cours complet d'algèbre linéaire, ils servent de référence systématique dans les solutions des exercices. De ce fait, le lecteur peut acquérir de façon autonome les bases des connaissances indispensables à, la poursuite de ses études. Si le sujet le passionne, (ce qui est le but de notre entreprise), il aura tout loisir de l'approfondir.
Une touche d'histoire
Rémi Morvan a agrémenté le texte de pages historiques, qui retracent en quelques lignes l'évolution des concepts introduits dans le cours et les exercices.
| Référence : | 781 |
| Niveau : | L1, L2, L3, Classes Préparatoires |
| Nombre de pages : | 156 |
| Format : | 14,5x20,5 |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Boucetta Mohamed | Auteur |
| Morvan Jean-Marie | Auteur |
Table des matières
1 Pré requis
1.1 Rappels sur les endomorphismes
1.2 Rappels sur les polynômes
1.2.1 Racines d’un polynôme
1.2.2 Polynômes scindés
1.2.3 Polynômes de matrices
2 Déterminants
2.1 Rappels de cours
2.1.1 La définition du déterminant d’une matrice par récurrence
2.1.2 La définition classique du déterminant d’une matrice carrée d’ordre n
2.1.3 Déterminant de n vecteurs
2.1.4 Quelques règles de calcul
2.1.5 Quelques simplifications possibles
2.1.6 Le cas de matrices triangulaires
2.1.7 Déterminant d’un endomorphisme
2.1.8 Calcul de l’inverse d’une matrice
2.1.9 Calcul du rang d’une matrice
2.2 Exercices
3 Systèmes linéaires
3.1 Rappels de cours
3.1.1Définitions
3.1.2 Système de Cramer et formule de Cramer
3.1.3 Systèmes homogènes
3.1.4 Le cas général
3.1.5 Interprétation géométrique
3.2 Exercices
4 Diagonalisation des endomorphismes
4.1 Rappels de cours
4.1.1 Vecteurs propres, valeurs propres
4.1.2 Polynôme caractéristique
4.1.3 Le cas des matrices symétriques réelles
4.1.4 Deux remarques pour conclure
4.2 Exercices
5 Polynômes annulateurs
5.1 Rappels de cours
5.1.1 Définition
5.1.2 Le théorème d’Hamilton-Cayley
5.1.3 Une condition de diagonalisation
5.1.4 Le théorème des noyaux
5.2 Exercices
6 Trigonalisation
6.1 Rappels de cours
6.2 Exercices
7 Réduction de Jordan
7.1 Rappels de cours
7.1.1 Polynôme minimal
7.1.2 La réduction de Jordan
7.2 Exercices
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